Faut-il chercher à tout démontrer ?

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PLAN DU COURS

1. La démonstration comme idéal de la connaissance

a) La démonstration comme procédure rationnelle

Cf. Aristote : la démonstration comme syllogisme scientifique.

b) Le statut des vérités démontrées

c) La force de conviction de la démonstration

2. Les limites internes de la démonstration

a) Toute démonstration repose sur de l’indémontrable

Cf. Pascal, De l’esprit géométrique.

b) Le rôle de l’intuition dans la démonstration

Cf. Pascal, Pensées.

c) Le refus de l’intuition. Le développement des géométries non-euclidiennes.

Cf. Robert Blanché, L’axiomatique (1955).

Cf. Henri Poincaré, La science et l’hypothèse (1902).

3. Les limites externes de la démonstration

a) Le problème des définitions

b) Le problème de l’existence

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TEXTES

« Je ne puis faire mieux entendre la conduite qu’on doit garder pour rendre les démonstrations convaincantes, qu’en expliquant celle que la géométrie observe.

Mais il faut auparavant que je donne l’idée d’une méthode encore plus éminente et plus accomplie, mais où les hommes ne sauraient jamais arriver : car ce qui passe la géométrie nous surpasse ; et néanmoins il est nécessaire d’en dire quelque chose, quoiqu’il soit impossible de le pratiquer.

Cette véritable méthode, qui formerait les démonstrations dans la plus haute excellence, s’il était possible d’y arriver, consisterait en deux choses principales : l’une, de n’employer aucun terme dont on n’eût auparavant expliqué nettement le sens ; l’autre, de n’avancer jamais aucune proposition qu’on ne démontrât par des vérités déjà connues; c’est-à-dire, en un mot, à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions. (…)

Certainement cette méthode serait belle, mais elle est absolument impossible : car il est évident que les premiers termes qu’on voudrait définir en supposeraient de précédents pour servir à leur explication, et que de même les premières propositions qu’on voudrait prouver en supposeraient d’autres qui les précédassent; et ainsi il est clair qu’on n’arriverait jamais aux premières.

Aussi, en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu’on ne peut plus définir, et à des principes si clairs qu’on n’en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve. D’où il paraît que les hommes sont dans une impuissance naturelle et immuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolument accompli. »

Pascal, De l’esprit géométrique.

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« Nous connaissons la vérité non seulement par la raison, mais aussi par le cœur ; et c’est de cette dernière sorte que nous connaissons les premiers principes. C’est en vain que le raisonnement qui n’y a point de part essaye de les combattre. Les Pyrrhoniens qui n’ont que cela pour objet y travaillent inutilement. Nous savons que nous ne rêvons point ; quelque impuissance où nous soyons de le prouver par raison, cette impuissance ne conclut autre chose que la faiblesse de notre raison, mais non pas l’incertitude de toutes nos connaissances, comme ils le prétendent. Car la connaissance des premiers principes, comme, par exemple, qu’il y a espace, temps, mouvement, nombre, matière, est aussi ferme qu’aucune de celle que nos raisonnements nous donnent. Et c’est sur ces connaissances du cœur et de l’instinct qu’il faut que la raison s’appuie, et qu’elle fonde tout son discours (Le cœur sent qu’il y a trois dimensions dans l’espace, et que les nombres sont infinis ; et la raison démontre ensuite, qu’il n’y a point deux nombres carrés, dont l’un soit double de l’autre. Les principes se sentent ; les propositions se concluent ; le tout avec certitude, quoique par différentes voies). Et il est aussi inutile et ridicule que la raison demande au cœur des preuves de ces premiers principes pour vouloir y consentir, qu’il serait ridicule que le cœur demandât à la raison un sentiment de toutes les propositions qu’elle démontre, pour vouloir les recevoir. »

Pascal, Pensées.

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« La géométrie classique, sous la forme que lui a donnée Euclide dans ses Éléments, a longtemps passé pour un modèle insurpassable, et même difficilement égalable, de théorie déductive. Les termes propres à la théorie n’y sont jamais introduits sans être définis ; les propositions n’y sont jamais avancées sans être démontrées, à l’exception d’un petit nombre d’entre elles qui sont énoncées d’abord à titre de principes : la démonstration ne peut en effet remonter à l’infini et doit bien reposer sur quelques propositions premières, mais on a pris soin de les choisir telles qu’aucun doute ne subsiste à leur égard dans un esprit sain. Bien que tout ce qu’on affirme soit empiriquement vrai, l’expérience n’est pas invoquée comme justification : le géomètre ne procède que par voie démonstrative, il ne fonde ses preuves que sur ce qui a été antérieurement établi, en se conformant aux seules lois de la logique. Chaque théorème se trouve ainsi relié, par un rapport nécessaire, aux propositions dont il se déduit comme conséquence, de sorte que, de proche en proche, se constitue un réseau serré où, directement ou indirectement, toutes les propositions communiquent entre elles. L’ensemble forme un système dont on ne pourrait distraire ou modifier une partie sans compromettre le tout. Ainsi, « les Grecs ont raisonné avec toute la justesse possible dans les mathématiques, et ils ont laissé au genre humain des modèles de l’art de démontrer » (Leibniz, Nouveaux essais). Avec eux, la géométrie a cessé d’être un recueil de recettes pratiques ou, au mieux, d’énoncés empiriques, pour devenir une science rationnelle (…).

Pourtant, il est apparu de mieux en mieux que, si la géométrie euclidienne était longtemps demeurée l’exemple le plus accompli qu’on pût alléguer d’une théorie déductive, l’appareil logique qui la soutenait n’était pas point irréprochable. De ces imperfections, certaines avaient été remarquées très tôt, mais ce n’est guère qu’au XIXe siècle qu’on a mesuré l’écart qui subsistait entre l’exposé traditionnel et une théorie déductive idéale. Un des traits qui marquent le mieux les mathématiques depuis cette époque, c’est en effet un accroissement soudain du souci de rigueur logique. Examinée ainsi avec une sévérité nouvelle, la déduction géométrique classique se révélait fautive sur bien des points. On s’est efforcé de la rectifier, et la présentation axiomatique de la théorie est le résultat de ses efforts (…). Un système axiomatique – on dit aussi : une théorie axiomatisée ou, plus brièvement, une axiomatique – est donc la forme achevée que prend, aujourd’hui, une théorie déductive. Non pas ce système chimérique dont rêvait Pascal pour des esprits surhumains, où l’on définirait tous les termes et démontrerait toutes les propositions, mais un système où soient totalement explicités les termes non définis et les propositions non démontrées, ces dernières étant posées comme de simples hypothèses à partir desquelles toutes les propositions du systèmes peuvent se construire selon des règles logiques parfaitement et expressément fixées. »

Robert Blanché, L’Axiomatique (1955), chapitre I, §1.

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« La première chose qui ait tourmenté les lecteurs d’Euclide amis de la rigueur, c’est l’intervention des postulats. Ce qui a d’abord gêné, ce n’étaient pas à proprement parler les trois postulats qui figuraient en tête des Éléments, à côté des définitions et des axiomes, et qui ont un caractère opératoire très général, visant seulement à annoncer qu’on se permettra des constructions avec la règle et le compas. Mais, après avoir commencé la chaîne de ses déductions, il arrive à deux reprises à Euclide d’invoquer, dans le cours même d’une démonstration et pour les besoins de celle-ci, une proposition très particulière qu’il demande qu’on lui accorde, sans pouvoir la justifier autrement que par une sorte d’appel à l’évidence intuitive. C’est ainsi que, pour démontrer sa 29e proposition, il lui faut admettre que, par un point hors d’une droite, ne passe qu’une seule parallèle à cette droite. (…) Le postulat des parallèles survenait ainsi comme un maillon étranger au système, comme un expédient destiné à combler une lacune dans l’enchaînement logique. Aux yeux des géomètres, il faisait figure de théorème empirique, dont la vérité n’était pas mise en question, mais dont la démonstration restait à découvrir. Les savants alexandrins, arabes et modernes s’y employèrent successivement, mais il se révélait toujours à l’analyse que les prétendues démonstrations se fondaient sur quelque autre supposition, demeurée le plus souvent implicite : on n’avait fait que changer de postulat. On sait comment l’échec des démonstrations directes suggéra l’idée d’une démonstration par l’absurde, et comment à son tour l’échec des démonstrations par l’absurde aboutit bientôt, par un renversement de point de vue, à la constitution des premières géométries dites non euclidiennes. »

Robert Blanché, L’Axiomatique (1955), chapitre I, §2.

* * *

« La plupart des mathématiciens ne regardent la géométrie de Lobatchevsky que comme une simple curiosité logique ; quelques-uns d’entre eux sont allés plus loin cependant. Puisque plusieurs géométries sont possibles, est-il certain que ce soit la nôtre qui soit vraie ? L’expérience nous apprend sans doute que la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits ; mais c’est parce que nous n’opérons que sur des triangles trop petits ; la différence, d’après Lobatchevsky, est proportionnelle à la surface du triangle : ne pourra-t-elle devenir sensible quand nous opérerons sur des triangles plus grands ou quand nos mesures deviendront plus précises ? La géométrie euclidienne ne serait ainsi qu’une géométrie provisoire.

Pour discuter cette opinion, nous devons d’abord nous demander quelle est la nature des axiomes géométriques. (…)

Les axiomes géométriques ne sont (…) ni des jugements synthétiques à priori ni des faits expérimentaux.

Ce sont des conventions ; notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n’est limité que par la nécessité d’éviter toute contradiction. C’est ainsi que les postulats peuvent rester rigoureusement vrais quand même les lois expérimentales qui ont déterminé leur adoption ne sont qu’approximatives.

En d’autres termes, les axiomes de la géométrie (je ne parle pas de ceux de l’arithmétique) ne sont que des définitions déguisées.

Dès lors, que doit-on penser de cette question : La géométrie euclidienne est-elle vraie ?

Elle n’a aucun sens.

Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses ; si les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut seulement être plus commode.

Or la géométrie euclidienne est et restera la plus commode :

1° Parce qu’elle est la plus simple ; et elle n’est pas telle seulement par suite de nos habitudes d’esprit ou de je ne sais quelle intuition directe que nous aurions de l’espace euclidien ; elle est la plus simple en soi de même qu’un polynôme du premier degré est plus simple qu’un polynôme du second degré (…).

2° Parce qu’elle s’accorde assez bien avec les propriétés des solides naturels, ces corps dont se rapprochent nos membres et notre œil et avec lesquels nous faisons nos instruments de mesure. »

Henri Poincaré, La science et l’hypothèse  (1902), chapitre III : « Les géométries non-euclidiennes ».

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